目次
もくじ
はじめ ····································································· 3
第1 章 データ解析と記述統計 ················································ 9
1. 1. データ解析 9
1. 2. 分散 11
1. 3. 分散公式 13
1. 4. 標準偏差 16
1. 5. 記述統計から推測統計へ 21
第2 章 正規分布とガウス関数 ················································ 24
2. 1. 統計の視点 24
2. 2. 平均と分散 26
2. 3. 標本数 27
2. 4. 標準偏差 28
2. 5. 誤差の分布 29
2. 6. 誤差分布の形状 31
2. 6. 1. 分散の影響 35
2. 6. 2. ガウス関数の積分 36
2. 7. 正規分布に対応した関数 39
2. 8. 標準正規分布 40
2. 9. 正規分布の計算方法 43
2. 10. 68－95－99.7 則 49
2. 11. 誤差関数 51
補遺2-1 指数関数 53
A2. 1. 指数関数の定義 53
A2. 2. 指数関数の級数展開 55
第3 章 推測統計 ···························································· 58
3. 1. 母数と標本データ 58
3. 2. 正規分布の加法性 60
3. 3. 標本標準偏差 62
3. 4. 母平均の区間推定 65
3. 5. 信頼区間の設定 69
3. 6. 標本分散と母分散 71
3. 7. 母分散の不偏推定値 73
3. 8. 母平均の推定－正規分布 75
3. 9. 母平均の推定－t 分布 77
3. 9. 1. t 分布 77
3. 9. 2. t 分布による区間推定 79
3. 10. X2 分布と分散 82
3. 10. 1. 分散が従う確率分布 82
3. 10. 2. 分散の区間推定 84
3. 11. 分散の比の推定 88
3. 11. 1. F 分布 88
3. 11. 2. 分散比の区間推定 89
3. 12. 点推定 91
コラム 96
第4 章 統計的仮説検定 ······················································· 97
4. 1. 統計における仮説検定 97
4. 1. 1. 仮説の設定 97
4. 1. 2. 仮説の検証 97
4. 2. 帰無仮説と対立仮説 98
4. 3. t 検定 103
4. 4. χ2 検定－母分散の検定 108
4. 5. F 検定－分散比の検定 112
第5 章 確率と確率分布 ······················································· 117
5. 1. 確率と統計 117
5. 2. 連続型確率変数 123
5. 3. 期待値と不偏推定値 124
5. 4. モーメント母関数 133
5. 5. 確率密度関数の条件 138
第6 章 t 分布の確率密度関数 ··············································· 141
6. 1. t 分布の確率密度関数 142
6. 2. ガンマ関数 143
6. 3. t 分布の形状 146
6. 4. ベータ関数 149
6. 5. 正規分布とt 分布 154
6. 6. ベータ関数とガンマ関数 156
6. 7. まとめ 160
第7 章 χ2分布の確率密度関数 ·············································· 161
7. 1. χ2 の定義 161
7. 2. χ2 分布の確率密度関数 162
7. 3. 自由度に依存した関数 164
7. 4. 期待値 168
7. 5. χ2 分布の分散 170
7. 6. モーメント母関数 172
7. 7. 標準偏差の不偏推定値 175
第8 章 F 分布の確率密度関数 ·············································· 179
8. 1. F 分布の確率密度関数 180
8. 2. F 分布とt 分布 184
8. 3. F 分布の期待値 186
8. 4. F 分布の分散 190
第9 章 2 項分布 ·························································· 199
9. 1. 順列と組み合わせ 199
9. 2. 2 項定理 204
9. 3. 2 項分布とは 206
9. 4. 平均と分散 213
9. 5. 2 項分布と正規分布 215
第10 章 ポアソン分布 ····················································· 223
10. 1. 2 項分布 223
10. 2. ポアソン分布の登場 224
10. 3. 平均と分散 227
10. 4. ポアソン分布の応用 229
第11 章 指数分布とワイブル分布 ··········································· 231
11. 1. 指数分布 231
11. 2. ハザード関数とワイブル分布 237
11. 3. ワイブル分布の平均と分散 240
第12 章 2 変数の確率分布 ················································· 245
12. 1. 同時確率分布 245
12. 2. 2 次元確率分布の期待値 248
12. 3. 確率変数の独立性 250
12. 4. 2 次元確率変数の分散 251
12. 5. 正規分布の加法性 253
おわりに ································································· 258
前書きなど
はじめに
日常生活でふとまわりを見渡すと、いたる処に数字が並んでいる。数字の氾濫
と言ってもよい。朝起きてテレビをつければ、いくつもの数値データが表れる。
降雨確率や予想気温、はたまた本の売れ行きランキングなど、よくぞ、これだけ
数字が羅列されるものだと感心せずにはいられない。
しかし、その一方で、発表される数値データに対して、多くのひとは驚くほど
おおらかである。また、結構、数値情報に頼っている。かく言うわれわれも、降
雨確率ゼロの日に花見に出かけて、大雨に見舞われた経験がある。
実は、世の中のひとが目にする数字の多くは統計学を基本にして算出される統
計量である。テレビ関係者を一喜一憂させるテレビ視聴率も統計量である。また、
日本の社会に直接影響を与える政党の支持率も統計量である。この他にも、統計
に頼った数字が世の中には氾濫しており、知らず知らずに大きな影響力を社会に
与えている。
このように、われわれの生活には、統計というものが深く入りこんでおり、中
には、社会そのものを大きく左右するような重要な数値もある。にもかかわらず、
発表される統計量がどのようにして算出されたかを知っているひとは多くない
のではなかろうか。
このように、統計処理された数字が氾濫している世の中では、統計手法を学ぶ
ことが非常に重要となる。さらに、統計のからくりを知っていると、世の中に氾
濫している数字に対する見方が違ってくる。何よりも重要なことは、その信憑性
に対して、きちんとした評価ができるようになることである。
よって、統計を学ぶということは、専門家だけではなく、多くのひとにとって
重要と考えられる。このため、政府はデータ駆動型社会を提唱し、大学でもデー
タサイエンス関連の新学部や学科が誕生している。
最近では、コンピュータの能力が格段に進歩し、データを入力すれば必要な統
計処理ができるようになっている。ただし、このようなブラックボックス化した
方法に頼っていると、本質を見失うことも多い。つまるところ、技術的な側面が
どんなに発達したとしても、最後に決断を下すのは機械ではなく人間である。こ
の事実を忘れてはならない。
2025 年 春
著者 村上雅人、井上和朗、小林忍
