目次
もくじ
はじめに ································································ 3
第1 章 行列とベクトル ··················································· 9
1. 1. ベクトルとは 9
1. 2. ベクトルの加減演算 12
1. 3. ベクトルの掛け算 15
1. 4. ベクトルの割り算 18
1. 5. 行列とはなにか 18
1. 6. 行列の加減演算 20
1. 7. 行列の掛け算 21
1. 8. 行列の割り算 28
第2 章 連立1 次方程式の解法と行列 ······································· 29
2. 1. 2 元連立1 次方程式の解法 29
2. 2. 連立1 次方程式の行列表示 30
2. 3. 拡大係数行列 31
2. 4. 行基本変形 32
2. 5. 逆行列による解法 35
2. 6. 逆行列の計算方法 37
2. 7. 行基本変形による逆行列の求め方 40
2. 8. 3 元連立1 次方程式の解法 42
2. 9. 多元連立1 次方程式の解法 46
第3 章 行列式と連立1 次方程式 ············································· 54
3. 1. 行列式とは 54
3. 2. 連立方程式の解と行列式 56
3. 3. 行列式による3 元連立1 次方程式の解 58
3. 4. 3 次正方行列の行列式の計算方法 59
3. 5. 余因子展開 61
3. 6. 3 元連立1 次方程式の解法 64
3. 7. 余因子行列と逆行列 66
第4 章 行列式の性質 ······················································· 72
4. 1. 要素積 72
4. 2. 置換 73
4. 3. 行列式の特徴 80
4. 3. 1. 行列式の余因子展開 80
4. 3. 2. 行列式の値が0 となる場合 82
4. 3. 3. 行列式の分解 83
4. 3. 4. 行あるいは列の入れ替え 89
4. 4. 行列式における行および列基本変形 91
4. 5. 三角行列の行列式 95
4. 6. 行列の積と行列式 99
第5 章 クラメルの公式 ··················································· 103
5. 1. クラメルの公式の導出 103
5. 2. 多元連立1 次方程式の解法 107
5. 3. EXCEL による行列式の計算 112
5. 4. 同次方程式の解 112
第6 章 正方行列 ························································· 116
6. 1. 正方行列の加減演算 116
6. 2. 正方行列の掛け算 117
6. 2. 1. べき乗計算 117
6. 2. 2. 行列の積の可換性 118
6. 3. 行列のべき乗 125
6. 4. 単位行列と逆行列 128
6. 5. 対称行列と直交行列 130
6. 6. 行列の階数 134
6. 7. 解の自由度 137
第7 章 線形空間と線形変換 ················································ 139
7. 1. 線形空間 139
7. 2. 線形従属と線形独立 140
7. 3. 基底 142
7. 4. グラムシュミットの正規直交基底 144
7. 5. 行列と線形変換 148
7. 6. 直交変換と直交行列 155
7. 7. 直交変換と内積 159
第8 章 固有値と固有ベクトル ·············································· 162
8. 1. 固有値と固有ベクトル 162
8. 2. 固有方程式 164
8. 3. 行列のべき乗 167
8. 4. 3 次正方行列 172
8. 5. 固有ベクトルの正規化 175
8. 6. 対称行列の対角化 178
8. 7. 固有値が複素数の場合 183
8. 8. 固有値が重解の場合 185
8. 9. ケーリーハミルトンの定理 187
8. 10. 2 次曲線の標準化 191
8. 10. 1. 平行移動 192
8. 10. 2. 標準形 193
8. 10. 3. 座標変換 198
第9 章 ジョルダン標準形 ·················································· 205
9. 1. 対角化できない行列 205
9. 2. ジョルダン標準形 207
9. 3. 2 次正方行列のべき乗 209
9. 4. 3 次正方行列 214
9. 5. 3 次行列のべき乗 217
9. 6. 固有値が3 重解の場合 220
9. 7. べき乗計算 224
9. 8. ジョルダン細胞 228
9. 8. 1. 2 次正方行列のジョルダン細胞 228
9. 8. 2. 3 次正方行列のジョルダン標準形 228
9. 8. 3. 解の自由度 229
9. 8. 4. 対角化可能性 230
おわりに ································································· 233
前書きなど
はじめに
大学1 年で習う「線形代数」“linear algebra” が、とても苦手であったという話
をよく聞く。
多くの大学では、「微分積分」と「線形代数」を大学数学の必修科目として習
う。これら学問が、理工系分野の基礎として重要ということを意味しているのだ
が、そこで、つまづいたのではもったいない。
ところで、線形代数がわかりにくい理由のひとつに、その効用がいまひとつ理
解できないことがあるらしい。たとえば、連立1 次方程式の解法についても、わ
ざわざ行列とベクトルを使わなくとも、高校で習った方法で解けるというのであ
る。
線形代数の効用は、方程式の数が増えた場合にも、形式を変えずに同じ解法が
適用できるという汎用性にある。そして、逆行列という考えを導入すれば、大き
く世界が拡がるのである。行列式を利用して連立方程式の解を与えるクラメルの
公式は、まさに芸術品といえる。本書を読めば、それが理解してもらえるはずだ。
また、行列の対角化という手法は、量子力学の礎にもなっている。このとき登
場する行列の固有値や固有ベクトルという概念も重要である。本書では、その導
出方法をわかりやすく説明している。誰でもが理解できるはずだ。
さらに、線形代数は多くの理工分野で利用されている。最近、大きな注目を集
めている人工知能AI のディープラーニングにも、行列演算が駆使されている。
本書を通して、多くのひとが線形代数の意義と、その効用を理解いただければ幸
いである。
2024 年 冬
著者 村上雅人、鈴木絢子、小林忍
